【УМК «Люди»】Математика, 9 класс, часть 2: Искусство света и теней: от теней к ортогональной проекции

Представьте себе Древний Египет, где огромные пирамиды на солнце отбрасывали длинные тени. Это было не только измерение времени, но и начало человеческого восприятия пространственных отношений. От древнегоСолнечные часыдо современных чертежей в инженерии люди постепенно превращали эмоциональное понятие «тень» в рациональный «математический язык».

1. Научное определение проекции

Проекция — это не просто «черная тень», а геометрическая запись, образованная лучами света, проходящими через объект и падающими на плоскость. Она включает три ключевых элемента:

Линия проекции (Projection Line)— Лучи света, падающие на объект.
Плоскость проекции (Projection Plane)— Плоскость, на которой находится тень (например, земля, стена).
Проекция (Projection)— Геометрическая фигура, полученная на плоскости проекции.

Эволюция классификации

Центральная проекция (Center Projection)— Проекция, образованная лучами света, исходящими из одной точки (точечный источник света, например, лампочка, пламя). Характеризуется эффектом «больше ближе, меньше дальше», часто используется в перспективной живописи.

Параллельная проекция (Parallel Projection)— Проекция, образованная параллельными лучами света (например, свет от очень далёкого Солнца). Она делится на:

Наклонная проекция— Линии проекции наклонены к плоскости проекции.
Ортогональная проекция (Orthographic)— Линии проекцииперпендикулярныплоскости проекции. Это основа для построения чертежей в инженерии (трёх видов).

2. Основание начертательной геометрии

Начертательная геометриябыла разработана французским математикомГаспаром Монжем (Gaspard Monge) Основана. Он изучал, как с помощью ортогональной проекции точно отображать и восстанавливать трёхмерную структуру на двумерной плоскости. Можно сказать, без ортогональной проекции не существовало бы языка инженерных чертежей современной точной промышленности.

🎯 Ключевой принцип

Изучение видов невозможно без изучения проекций. Суть ортогональной проекции — перпендикулярность между лучами света и плоскостью проекции, что позволяет сохранять «истинные размеры» фигуры без искажений.

ВОПРОС 1

Хуа сделал несколько фотографий перед площадью Тяньаньмэнь в разное время. Какая из них была сделана днём?

Тень направлена на запад

Тень направлена на восток

Тень очень короткая и находится прямо под объектом

Тень направлена на север

ВОПРОС 2

Проекция, образованная лучами света, исходящими из одной точки (точечного источника), называется:

ортогональная проекция

Наклонная проекция

центральная проекция

параллельная проекция

ВОПРОС 3

В параллельной проекции, если линии проекции перпендикулярны плоскости проекции, такая проекция называется:

центральная проекция

ортогональная проекция

перспективная проекция

Наклонная проекция

ВОПРОС 4

Математик, которого называют «отцом начертательной геометрии» и который создал основу теории проекций, это:

Евклид

Гаспар Монж

Архимед

Гаусс

ВОПРОС 5

Какое из следующих явлений относится к центральной проекции?

Тень дерева на солнце

Тень человека под уличным фонарем

Тень указателя на солнечных часах

Тень, образованная параллельным светом прожектора

Глубокий вызов: логика света и теней и пространственное моделирование

Q1. [Соответствие] Соедините следующие объекты/явления с соответствующими характеристиками проекции.

1. Форма животного в игре в тени —— А. Круговая проекция
2. Цилиндр под солнечным светом (перпендикулярное освещение нижней поверхности) —— Б. Лучи от точечного источника (центральная проекция)
3. Прямоугольный треугольник под прожектором —— В. Прямоугольная проекция (определённый угол)
4. Перпендикулярное освещение шара —— Г. Оконтуривание тени
5. Цилиндр под солнечным светом (параллельное освещение боковой поверхности) —— Е. Параллельная проекция

Эталонный ответ:
1-Г (форма тени образована жестом)
2-А (нижняя поверхность проецируется в круг)
3-Б (прожектор/точечный источник создает центральную проекцию)
4-А (проекция шара всегда круглая)
5-В (боковая поверхность проецируется в прямоугольник)

Q2. [Комплексный анализ] На рисунке 29.1-5 показаны три проекции треугольника. Ответьте:
(1) В чём разница между линиями проекции на рисунке (1) и рисунках (2)(3)?
(2) В чём разница в положении линий проекции по отношению к плоскости проекции на рисунках (2)(3)?

Модель решения:
(1) Линии проекции на рисунке (1) исходят из одной точки, этоцентральная проекция; линии проекции на рисунках (2)(3) параллельны друг другу, этопараллельная проекция.
(2) Линии проекции на рисунке (2) наклонены к плоскости проекции, этоНаклонная проекция; линии проекции на рисунке (3) перпендикулярны плоскости проекции, этоортогональная проекция.

Q3. [Пространственное воображение] Рассмотрите правильную пятиугольную призму. Когда свет падает сверху строго перпендикулярно, каковы ортогональные проекции её поверхностей?

Эталонный ответ:
1. верхнее и нижнее основания: поскольку они перпендикулярны лучам света, их ортогональная проекция совпадает с основанием и являетсяправильным пятиугольником.
2. пять боковых граней: поскольку боковые рёбра перпендикулярны основанию, боковые грани параллельны лучам света, их ортогональные проекции сокращаются доотрезков.

Q4. [Инженерная практика] Если даны три вида конуса и комбинированного тела в форме «L», подумайте:
(1) Какую форму имеет развёртка конуса?
(2) Если вы хотите изготовить модель из картофеля, как следует производить «вырезание» по трём видам?

Практическое руководство:
(1) Развёртка конуса состоит из одногосектора(боковая поверхность) и одногокруга(основание).
(2) При изготовлении модели сначала вырежьте внешний контур основания по плану, затем используйте главный вид и вид слева, чтобы определить высоту и угол наклона боковых сторон, обеспечивая соответствие проекций в трёх направлениях заданному чертежу.